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Decaku 's Blog |
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莫比乌斯反演杜教筛题集

描述:

$cjoj2513 \\
求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)),n \leq 10^{7},m \leq 1e7 $


思路:

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}id(gcd(i,j)) \\
由狄利克雷卷积的常用结论可知 \\
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}1*\phi(gcd(i,j)) \\
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}^{min(n,m)} \phi(d) \\
求和换序 \\
=\sum_{d=1}^{min(n,m)} \lfloor(n/d)\rfloor \lfloor(m/d)\rfloor \phi(d) \\
有两个下取整,预处理前缀和以后,可以分块O(\sqrt{n}+\sqrt{m})求解$


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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=998244353;
const ll maxn=1e7+5;
ll n,m,euler[maxn],sum[maxn];
void getEuler()
{
memset(euler,0,sizeof(euler));
euler[1]=1;
for(int i=2; i<maxn; i++)
if(!euler[i])
for(int j=i; j<maxn; j+=i)
{
if(!euler[j])
euler[j]=j;
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}
for(int i=1; i<maxn; i++)
sum[i]=sum[i-1]+euler[i]%mod;
}
int main()
{
getEuler();
scanf("%lld %lld",&n,&m);
ll up=min(n,m);
ll ans=0;
for(int l = 1, r; l <= up; l = r+1)
{
r = min(n/(n/l), m/(m/l));
ans += 1LL*(n/l)%mod*(m/l)%mod*(sum[r]-sum[l-1])%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}

描述:

$洛谷P2257 \\
求\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)是素数], n,m\leq10^{7} \\
T组询问,T\leq10000 $


思路:

$设f(x)=\begin{cases}1 (x是素数) \\0 (x不是素数)\end{cases},找一个g使得f=1*g $

$那么g=\mu*f,所以有g(x)=\sum_{p|x}\mu(x/p) 其中p是素数 \\
所以要求的\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}g(d) \\
又是求和换序 \\
=\sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)\lfloor(n/d)\rfloor \lfloor(m/d)\rfloor \\
形式和上面一题一样,预处理前缀和以后分块。 \\
本题卡常,不要都用long long。 $


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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll maxn=1e7+5;
int mu[maxn],prime[maxn],t,n,m;
ll g[maxn];
bool vis[maxn];
inline void ini()
{
//memset(vis,false,sizeof(vis));
mu[1]=1;
prime[0]=0;
for(int i=2; i<maxn; i++)
{
if(!vis[i])
{
mu[i]=-1;
prime[++prime[0]]=i;
}
for(int j=1; j<=prime[0]&&i*prime[j]<maxn; j++)
{
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j])
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
else
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
}
}
for(int i=1; i<=prime[0]; i++)
{
for(int j=1; j*prime[i]<maxn; j++)
g[j*prime[i]]+=mu[j];
}
for(int i=1; i<maxn; i++)
g[i]+=g[i-1];

}
int main()
{
ini();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
ll ans=0;
scanf("%d %d",&n,&m);
int up=min(n,m);
for(int l = 1, r; l <= up; l = r+1)
{
r = min(n/(n/l), m/(m/l));
ans += 1LL*(n/l)*(m/l)*(g[r]-g[l-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
}

描述:

$bzoj 3994 \\
求\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}d(ij),d(x)表示x的因子个数。$


思路:

$有个神奇的结论 d(i,j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1] \\
原式=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1] $

$设f(x)=\begin{cases}1 (x=1) \\0 (x\neq1)\end{cases},找一个g使得f=1*g $

$g=\mu*f,发现g(x)=\mu(x) \\
所以原式=\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m} \lfloor n/x \rfloor \lfloor m/y \rfloor \sum_{d|x,d|y}\mu(d) \\
然后又是求和换序,继续化简一波就是 \\
\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d) \sum_{x=1}^{n/d} \sum_{y=1}^{m/d}\lfloor n/dx \rfloor \lfloor m/dy \rfloor \\
预处理前缀和以后数学分块
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// bzoj3994
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 2147483640
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=50010;
LL n,m,s[maxn],mu[maxn],f[maxn];
int p[maxn],vis[maxn];

int main() {
int T;scanf("%d",&T);
s[1]=mu[1]=1;
for (int i=2;i<maxn;i++) {
if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=p[0] && p[j]*i<maxn;j++) {
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
else mu[i*p[j]]=-mu[i];
}
s[i]=s[i-1]+mu[i];
}
for (int i=1;i<maxn;i++)
for (int j=1,k;j<=i;j=k+1) {
k=i/(i/j);
f[i]+=(LL)(k-j+1)*(i/j);
}
while (T--) {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if (n>m) swap(n,m);
LL ans=0;
for (int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=f[n/i]*f[m/i]*(s[j]-s[i-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
avatar Decaku 如果人生的路有很长,愿你的荣耀永不退场。